极值代表函数演变过程中的关键里程碑。我们区分 绝对值（全局）——在整个定义域内达到的最终峰值或谷值——与 局部值——那些比其邻近点更高或更低的峰谷。这些点正是优化物理系统时的主要目标，从火箭的飞行轨迹到燃料消耗最小化皆是如此。
1. 极值的正式定义
定义1：绝对极值
设 $c$ 是函数 $f$ 定义域 $D$ 中的一个数。
- $f(c)$ 是 绝对最大值 当且仅当对所有 $x$ 属于 $D$ 都有 $f(c) \ge f(x)$ 时。
- $f(c)$ 是 绝对最小值 当且仅当对所有 $x$ 属于 $D$ 都有 $f(c) \le f(x)$ 时。
定义2：局部极值
$f(c)$ 是一个 局部最大值 （或最小值），当 $x$ 在 $c$ 附近时，满足 $f(c) \ge f(x)$（或 $f(c) \le f(x)$）。 附近 $c$。
2. 存在性保证：极值定理（EVT）
只有存在解时才可能找到解。 极值定理 提供了保证：如果函数 $f$ 在闭区间 连续 上 闭区间 $[a, b]$ 上，则 $f$ 必须 同时取得绝对最大值和绝对最小值。
考虑超越函数之间的对比：
- 例1（周期型）： $f(x) = \cos x$ 的绝对最大值为1，且在无穷多个位置达到（当 $x = 2n\pi$ 时）。
- 例3（幂函数型）： $f(x) = x^3$（在 $(-\infty, \infty)$ 上）没有 任何 极值，因为它在正负无穷方向上无限增减。
3. 对称性与增长性
若 $f(-x) = f(x)$，则该函数是 偶函数 关于 $y$ 轴对称。这意味着如果在 $x = 2$ 处出现局部最小值，则在 $x = -2$ 处也必然存在相同的最小值。这在 $f(x) = x^2$（例2）中体现明显，其中 $f(0) = 0$ 既是局部最小值也是绝对最小值。
🎯 核心原则
要在区间 $[a, b]$ 上寻找绝对极值，需计算函数在所有内部临界点以及端点 $a$ 和 $b$ 处的值。其中最大值即为绝对最大值，最小值即为绝对最小值。